Chris Horner en het theorema van Bayes

door: Bram Brouwer

Na een spannende laatste week won Chris Horner de Ronde van Spanje 2013. De champagne was echter nog niet uitgewerkt of zijn overwinning werd alweer in diskrediet gebracht. De volgende morgen al verspreidde zich het gerucht dat de Amerikaan een out-of-competition-controle miste⁸. Hoewel al snel duidelijk was dat niet Horner maar de WADA in gebreke was, was het leed al geschied. Het geruchtencircuit was in volle hevigheid losgebarsten. Was het niet verdacht dat de Amerikaan al op maandagmorgen in het vliegtuig naar huis zat! En was het al niet verdacht dat hij op zijn leeftijd nog een Vuelta won. En dan nog een gemiste controle!

Om aan de geruchtenstroom een einde te maken publiceerde Horner zijn bloedpaspoort waarden op zijn website. Dan kon iedereen zien dat hij niets te verbergen had. Herman Ram – directeur van de Nederlandse Dopingautoriteit – noemde dit een pr-actie^{1; 9}. Hij vergat even dat deze ‘publiciteitsstunt’ het gevolg was van een fout van zijn collega’s. En om de geruchtenstroom nog extra aan te wakkeren verklaarde Ram dat Horners bloedwaarden helemaal niet konden aantonen dat de Amerikaan geen doping gebruikte.

Heeft Ram gelijk? Kunnen Horners bloedwaarden niet aantonen dat hij geen doping gebruikte? Bij het antwoord op die vraag speelt het theorema van Bayes een belangrijke rol.

Theorema van Bayes
Het theorema van Bayes is een lastige theorie uit de kansrekening, die echter essentieel is bij het beoordelen van strafrecht- en dopingzaken. Hoewel Bayes' theorema ingewikkelde statistische formules bevat^{5; 6}, proberen we het hier zonder die formules uit te leggen. Als voorbeeld gebruiken we een reële – in de literatuur beschreven^{4; 10}– ‘moordzaak’ en passen dat voorbeeld vervolgens toe op het bloedpaspoort.

De ‘moordzaak'
In 2002 werd de 37-jarige Pim, die een oogje zou hebben gehad op een voormalige vriendin van Henk, dood aangetroffen in een bos. Hoewel er geen enkele aanwijzing voor moord was en/of dat Henk daarbij betrokken zou zijn, verdacht het Openbaar Ministerie (OM) Henk daar toch van en motiveerde dit met: 'de kans dat een man van 37 jaar een natuurlijke dood sterft, is zeer klein. Dus moet Pim wel door Henk vermoord zijn'. De rechtbank en het gerechtshof accepteerden dit argument en veroordeelden Henk. Wij testen de OM-redenering.

A priori kansen
Volgens het OM is de vraag: 'Hoe groot is de kans, dat een 37 jarige man in 2002 een natuurlijke dood stierf versus dat hij werd vermoord?' Het CBS geeft antwoord (Tabel #-1). Pim had in 2002 een kans van 1 op 1.450 om aan een natuurlijke dood te overlijden (0.69‰; Tabel #-1, paneel A, regel 1). Zijn kans echter om op een onnatuurlijke wijze te overlijden was 1 op 2736, dus bijna twee keer zo klein (0.37‰; Tabel #-1, paneel A, regel 2). Maar – volgens het OM – werd Pim vermoord. En de kans dat een 37-jarige man in 2002 werd vermoord was ‘slechts’ 1 op 28.275 (0.04‰; Tabel #-1, paneel A, regel 2c). Dit zijn de a priori kansen: de kans dat een feit zich zal voordoen, voordat het heeft plaats gevonden (Tabel #-1, paneel A). Het OM heeft gelijk dat Pims kans op een natuurlijke dood in 2002 klein was. Maar de kans om in 2002 te worden vermoord was nog ongeveer twintig kleiner. Het OM-argument is dus onjuist.



A posteriori kansen
Maar de OM-argumentatie is niet alleen onjuist, maar ook ongeldig. De besproken kansen zijn zoals gezegd a priori kansen: de kans dat een nog levende Pim aan een bepaalde oorzaak zou overlijden. Maar Pim was dood en dat maakte zijn kans in 2002 te overlijden 100%. De OM-vraag is dan ongeldig. De juiste vraag is dan: 'Wat is de kans dat een in 2002 overleden 37-jarige man een natuurlijke dood stierf versus dat hij werd vermoord?'

Voor dat antwoord moeten we de a posteriori kansen gebruiken (Tabel #-1, paneel B). Daarbij tellen alleen de 716 overleden mannen mee. De kans dat Pim een natuurlijke dood stierf is dan 1 op 1,5 (65,4%; Tabel #-1, paneel B, regel 1) en op een onnatuurlijk dood 1 op 2,9 (34,6%; Tabel #-1, paneel B, regel 2). Maar de kans dat Pim overleed door moord is ‘slechts’ 1 op 30 (3,4%; Tabel #-1, paneel B, regel 2c). Ofwel de kans dat Pim als 37-jarige man in 2002 zou zijn vermoord is ongeveer twintig keer kleiner dan dat hij op natuurlijke wijze om het leven kwam. Zelfs de kans dat Pim zelfmoord pleegde is vijf maal groter dan dat hij werd vermoord. Henk werd voor dit deel van de aanklacht honderd procent zeker op foute argumenten veroordeeld.

Ter verduidelijking: bovenstaande zegt niets over Henks schuld. We beschreven slechts dat de kans dat Pim werd vermoord aanzienlijk kleiner is dan dat hij een natuurlijke dood stierf. Maar Pim kan nog steeds zijn vermoord. En over Henks schuld zeg onze beschrijving al helemaal niets, maar dat geldt ook voor de OM-argumentatie. Daar moet de rechter over oordelen. Maar die moet dan wel de juiste informatie krijgen en dat is de OM-redenering niet. Die is zoals we zagen niet alleen fout maar ook ongeldig.

Bayes en het bloedpaspoort
Als we de OM-redenering naar het bloedpaspoort vertalen ontstaat de stelling: 'de kans op een natuurlijke (onbewuste) verdachte afwijking in een bloedpaspoort is zo klein, dat die wel door bewust dopinggebruik moet zijn ontstaan?' De vraag die hieruit afgeleid kan worden is dan: 'wat is de kans dat een verdachte afwijking in het bloedpaspoort van een sporter ontstaat door een natuurlijke (onbewuste) oorzaak versus dat ze ontstaat door bewust dopinggebruik?'.

Onbewuste oorzaken zijn niet onder bewuste controle van de sporter en kunnen m.i. nooit als doping aangemerkt worden. Dat zou hetzelfde zijn als iemand veroordelen voor rood haar of homo/lesbisch zijn. De in de vorige alinea besproken kansen zijn echter a priori kansen, voorafgaand aan het verdachte feit (afwijkende bloedwaarde). We zagen dat - zodra dat feit is vastgesteld - de a priori kansen moeten wijken voor de a posteriori kansen. Dat in onze ‘moord’-case zowel de a priori als de a posteriori kansen op moord vs. een natuurlijke dood ongeveer een factor twintig verschillen, is toeval.

Hoe groot dit verschil kan zijn beschreef Derksen ³ in zijn studie naar de Lucia de B-case: een van de grootste gerechtelijke dwalingen in Nederland. De B. was als verpleegkundige betrokken bij zeven ‘onverklaarbaar’ overleden patiënten. De kans op een dergelijke samenloop van omstandigheden werd berekend op 1 op 342.000.000. Bij een zodanig lage toevalskans moest de B. volgens het OM die patiënten wel vermoord hebben. Zowel de rechtbank als het gerechtshof veroordeelden haar dan ook tot levenslang. Maar die veroordeling was gebaseerd op a priori kansen. Volgens de a posteriori kansen had (rekening houdende met het aantal diensten) 1 op de 44 verpleegkundigen in Nederland de kans op een dergelijke coïncidentie³. In 2010 werd Lucia de Berk door de herzieningsrechter gerehabiliteerd. Er was geen enkele moord gepleegd.

Bij de ‘moordzaak’ van Pim zagen we dat zodra een feit zich voor doet de a priori kansen plaats maken voor de a-posteriori kansen. Daarbij maak het niet uit of het gaat om de ‘moord’ op Pim, de Lucia de B.-case of om een verdachte waarde in een bloedpaspoort. Zodra de verdachte waarde is vastgesteld is de kans op die verdachte waarde 100% geworden. De te beantwoorden vraag is dan: 'wat is de kans dat die verdachte waarde een natuurlijke oorsprong heeft of uit bewust dopinggebruik voortkomt?'

Voor het antwoord kunnen we kort zijn: we hebben geen idee. Daarvoor is kostbaar grootschalig onafhankelijk longitudinaal onderzoek noodzakelijk naar normale en afwijkende bloedwaarden in de doelgroep (topduursporters), gesplitst naar sporttype, leeftijd, etc. Zolang dergelijke informatie niet beschikbaar is, zijn alle uitspraken op basis van het bloedpaspoort speculatie. Bij de Lucia de Berk-case zagen we wat de gevolgen daarvan kunnen zijn. Momenteel bereiden Belgische advocaten de stap voor naar het Europees hof van de Rechten van de Mens om het Biologisch paspoort als bewijsmiddel in dopingzaken te verbieden². Dat zou wel eens het einde van dit ‘opsporingsmiddel’ kunnen inluiden.

Maar net als over Pims moord zegt bovenstaande niets over daadwerkelijk dopinggebruik. Dat weten we niet en dat moeten anderen beoordelen. Maar dat oordeel moet dan wel, net als bij Pim, op de juiste gegevens gebaseerd zijn en dat is nu niet het geval⁶. Zonder adequate kennis over de a posteriori kansen is het bloedpaspoort onbruikbaar⁷, zeker als bewijs om mensen te veroordelen. Ram had gelijk: het bloedpaspoort zegt niets over Horners dopinggebruik, het zegt überhaupt niets.

Literatuur
1. ANP. (2013, 01-10). Dopingautoriteit spreekt van 'goede pr-actie' Horner, NU-sport.
2. Blijboom, L., & Kerckhoffs, R. (2013, 19-02). Bom onder Biologisch paspoort, Telegraaf.
3. Derksen, T. (2006). Lucia de B.: Reconstructie van een gerechtelijke dwaling. [Lucia de B. Reconstruction of a miscarriage of justice]. Diemen: Uitgeverij Veen-Magazines.
4. Derksen, T. (2008). Het O.M. in de fout: 94 structurele missers. Diemen: Uitgeverij Veen-magazines.
5. Faber, N. M. (2009, 3/3/2009). Kans op fout positieven verkeerd berekend voor dopingtesten [Risk of false positives incorrectly calculated for doping tests]. Sport Knowhow XL. Retrieved 9/20/2010, 2010, from here
6. Faber, N. M. (2010, 1/19/2010). Claudia Pechstein: de Sally Clark of Lucia de B. van de sport? {Claudia Pechstein: the Sally Clarck of Lucia de B. off sport]. Sport Knowhow XL. Retrieved 9/19/2010, 2010, from here
7. Jaspers, A. (2010). Bloedschande: dopingpaspoort als fabeltje. NWTMagazine, 2010 (2), 34-35.
8. Misérus, M. (2013, 19-09). Winnaar is per definitie besmet, Volkskrant.
9. Volkskrant. (2013, 27-09). Openbaring Horner vooral een pr-actie, Volkskrant.
10. Wagenaar, W. A., Israëls, H., & Koppen, P. J. v. (2009). De slapende rechter: waarom het veroordelen van burgers niet alleen aan de rechter kan worden overgelaten. Amsterdam: Uitgeverij.

Bram Brouwer is ruim dertig jaar schaatstrainer en was een van de eerste gediplomeerde wielrentrainers in Nederlanden. Hij heeft 15 jaar professioneel duursporters begeleid en is daarna psychologie gaan studeren aan de Open Universiteit. Hier studeerde hij in 2009 cum laude af als arbeids en organisatiepsycholoog op het onderwerp ‘Doping als drogreden’ en behaalde de basisaantekening sportpsychologie. Momenteel werkt hij aan zijn proefschrift met als werktitel ‘De mythen van epo bij wielrennen’. Daarnaast werkt hij in zijn eigen praktijk, als adviseur/coach voor mensen en organisaties die willen presteren en verzorgt lezingen over deze onderwerpen. Voor meer informatie: info@brambrouwer.nl of www.brambrouwer.nl.